РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4213 Добавить в вариант

Решите уравнение $x в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка минус 3 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x в квадрате плюс 1=0.$

Спрятать решение

Решение.

Сделав замену $t=x в квадрате , t больше или равно 0,$ получим уравнение $t в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 3 t в квадрате плюс t плюс 1=0.$ Заметив, что $t=1$ является корнем и разделив левую часть на $левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка ,$ будем иметь

$левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс t в кубе плюс t в квадрате минус 2 t минус 1 правая круглая скобка =0.$

Многочлен $t в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс t в кубе плюс t в квадрате минус 2 t минус 1$ также имеет корень $t=1.$ После деления этого многочлена на $левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка$ получаем уравнение

$левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t в кубе плюс 2 t в квадрате плюс 3 t плюс 1 правая круглая скобка =0.$

Многочлен $t в кубе плюс 2 t в квадрате плюс 3 t плюс 1$ имеет только положительные коэффициенты и поэтому у него нет неотрицательных корней. Таким образом, $t=1$   — единственный корень (кратности 2) и, возвращаясь к переменной x, получаем два корня $x=\pm 1.$

Ответ: $левая фигурная скобка \pm 1 правая фигурная скобка .$

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения высших порядков, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Помощь