PDF-версии: 
Дан неравносторонний треугольник со сторонами a, b, c. Если существует треугольник со сторонами 
то рассматривают этот новый треугольник и с ним проделывают ту же процедуру (и т. д.), в противном случае процесс заканчивается.
а) Может ли в этом процессе встретиться треугольник, подобный исходному?
б) Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
Решение. а) Пусть для определенности, 
тогда три новых числа, очевидно, будут удовлетворять неравенствам
Поэтому величина 
равная разности между наибольшей и наименьшей стороной, после одной процедуры будет равна 
а после n-ой процедуры будет 
Значит, если бы на n ом шаге треугольник оказался подобен исходному, то коэффициент подобия был бы равен 2n, но, с другой стороны, большая сторона за каждый шаг увеличивается менее, чем в два раза: действительно, в противном случае получили бы неравенство
что противоречило бы условию на длины сторон.
б) Заметим, что периметр треугольника сохраняется при данной процедуре, а поскольку величина 
растет как геометрическая прогрессия со знаменателем 2, она станет больше периметра, но это, очевидно, противоречит положительности всех трех сторон треугольника. Комментарий. Рассуждение пункта б), основанное на сохранении периметра, могло быть применено и в пункте a): тогда из подобия треугольников следовало бы их равенство.
Ответ: a) нет; б) нет.
| Символы-Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +20 | Полное верное решение |
| +.16 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение |
| ±12 | Решение в целом верное, но содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений |
| +/2 10 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основная оценка |
| ∓8 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи |
| −.4 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения |
| −0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал) |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 10 баллов, а другие (промежуточные) оценки соответствуют половинкам баллов приведенной таблицы. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком–стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ ±↑ будет соответствовать 13 баллам.