РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 4063 Добавить в вариант

Решите уравнение

$x в степени 4 – левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка умножить на x в кубе плюс левая круглая скобка ab – 2c правая круглая скобка умножить на nx в квадрате плюс c левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка умножить на x плюс c в квадрате = 0.$

В ответ напишите сумму квадратов действительных корней уравнения.

Спрятать решение

Решение.

Замечаем, что $x=0$ не является решением уравнения, поэтому можно поделить на $x в квадрате .$ Сгруппируем

$левая круглая скобка x в квадрате минус 2 c плюс дробь: числитель: c в квадрате , знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: c, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка плюс a b=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус дробь: числитель: c, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: c, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка плюс a b=0 равносильно левая круглая скобка x минус дробь: числитель: c, знаменатель: x конец дроби минус a правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: c, знаменатель: x конец дроби минус b правая круглая скобка =0.$

Решаем через дискриминант два уравнения $x в квадрате минус a x минус c=0$ и $x в квадрате минус b x минус c=0.$ Находим корни

$x_1, 2= дробь: числитель: a \pm корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 c правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$

$x_3, 4= дробь: числитель: b \pm корень из: начало аргумента: b в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 c правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Bce четыре корня  — действительные числа (во всех вариантах числа были подобраны таким образом, чтобы дискриминанты неотрицательны). В итоге получаем

$левая круглая скобка дробь: числитель: a минус корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 c правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: a плюс корень из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 c правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: b минус корень из: начало аргумента: b в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 c правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: b плюс корень из: начало аргумента: b в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 c правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =$
$= дробь: числитель: a в квадрате плюс левая круглая скобка a в квадрате плюс 4 c правая круглая скобка плюс b в квадрате плюс левая круглая скобка b в квадрате плюс 4 c правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =a в квадрате плюс b в квадрате плюс 4 c.$

Решение (нечестное). Если поверить, что все четыре корня уравнения являются действительными числами, то возможно найти ответ более коротким способом. По теореме Виета

$x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4=a плюс b,$

$x_1 x_2 плюс x_1 x_3 плюс x_1 x_4 плюс x_2 x_3 плюс x_2 x_4 плюс x_3 x_4=a b минус 2 c.$

Поэтому

$x_1 в квадрате плюс x_2 в квадрате плюс x_3 в квадрате плюс x_4 в квадрате = левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4 правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка x_1 x_2 плюс \ldots плюс x_3 x_4 правая круглая скобка = левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка a b минус 2 c правая круглая скобка =a в квадрате плюс b в квадрате плюс 4 c.$

Ответ: $a в квадрате плюс b в квадрате плюс 4 c.$

Ответ:

a^{2}+b^{2}+4 c.

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 9 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения высших порядков

Спрятать решение · Помощь