РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3920 Добавить в вариант

а)  Дано квадратное уравнение $x в квадрате минус 9x минус 10 = 0 .$ Пусть а  — его наименьший корень. Найдите $a в степени 4 минус 909a .$

б)  Для квадратного уравнения $x в квадрате минус 9x плюс 10 = 0 ,$ у которого b  — наименьший корень, найдите $b в степени 4 минус 549b .$

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу в общем виде. Пусть $x в квадрате минус cx плюс d =0$   — квадратное уравнение, a  — его корень. Тогда

$a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка ca минус d правая круглая скобка в квадрате = c в квадрате a в квадрате минус 2 aod плюс d в квадрате =c в квадрате левая круглая скобка ca минус d правая круглая скобка минус 2 aod плюс d в квадрате = a левая круглая скобка c в кубе минус 2 o d правая круглая скобка плюс d в квадрате минус c в квадрате d.$ $a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка ca минус d правая круглая скобка в квадрате = c в квадрате a в квадрате минус 2 aod плюс d в квадрате =$
$=c в квадрате левая круглая скобка ca минус d правая круглая скобка минус 2 aod плюс d в квадрате = a левая круглая скобка c в кубе минус 2 o d правая круглая скобка плюс d в квадрате минус c в квадрате d.$

Значит,

$a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус левая круглая скобка c в кубе минус 2 o d правая круглая скобка a = d в квадрате минус c в квадрате d .$

При $c=9$ и $d = минус 10$ получим $a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 909 a =910,$ а при $c=9$ и $d =10$ имеем $b в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 549 b= минус 710.$ В п. a) легко и непосредственно получить результат.

Ответ: а) 910; б) –710.

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения квадратные

Спрятать решение · Помощь