РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3791 Добавить в вариант

Найдите все целые значение параметра а, при которых система имеет хотя бы одно решение

$система выражений левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка =x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ,x в квадрате плюс a в квадрате плюс 2x=y левая круглая скобка 2a минус y правая круглая скобка . конец системы .$

В ответе укажите сумму найденных значений параметра a.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему

$система выражений y минус 1 = левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 конец системы . равносильно система выражений y минус 1= левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , y минус 2 плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка в квадрате =0. конец системы .$

Рассмотрим второе уравнение системы

$y в квадрате минус y левая круглая скобка 2 a минус 1 правая круглая скобка плюс a в квадрате минус 2=0,$

где

$D= левая круглая скобка 2 a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка a в квадрате минус 2 правая круглая скобка =9 минус 4 a.$

Решение существует при $a меньше или равно дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби ,$ отсюда $y= дробь: числитель: 2 a минус 1 \pm корень из: начало аргумента: 9 минус 4 a конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ причем $y больше или равно 1.$ Для существования решения должны выполняться условия

$система выражений D = 9 минус 4 a больше или равно 0, совокупность выражений система выражений f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус 2 a больше 0 , дробь: числитель: 2 a минус 1 , знаменатель: 2 конец дроби больше 1, конец системы . f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = a в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус 2 a меньше или равно 0 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений a меньше или равно дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби , совокупность выражений система выражений a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка больше 0,2 a минус 1 больше 2, конец системы . a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . конец совокупности . равносильно a принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Суммируя целые значения параметра, получим $0 плюс 1 плюс 2=3.$

Ответ: 3.

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Необходимые и достаточные условия, Задачи с параметрами. Системы уравнений, Задачи с параметрами. Уравнение окружности

Спрятать решение · Помощь