РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3731 Добавить в вариант

В параллелограмме ABCD высота ВЕ  =  3, АЕ : ЕD  =  1 : 4. сторона ВС  =  5. На отрезках ВЕ и ВС отмечены точки G и F соответственно, так что ВG : GЕ  =  1 : 2, ВF : FС  =  3 : 2. Определите градусную меру угла FDG.

Спрятать решение

Решение.

Построим высоту DH и соединим точки F и G.

1)  Треугольник BFG равен треугольнику DFH  — по двум катетам, так как $B F=D H=3;$ $B G=F H=1,$ поэтому $F G=F D,$ $\angle B F G=\angle F D H= альфа$ и

$\angle D F H=\angle B G F=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа .$

2)  Треугольник DFG  — прямоугольный равнобедренный, так как $F G=F D,$ и

$\angle B F G плюс \angle G F D плюс \angle D F H=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Отсюда

$\angle G F D=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B F G минус \angle D F H \Rightarrow \angle G F D=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $\angle G F D=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B F G минус \angle D F H \Rightarrow$
$\Rightarrow \angle G F D=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Значит, $\angle F D G=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: $\angle F D G=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Четырехугольник: параллелограмм

Спрятать решение · Помощь