сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те объ­е­мы ча­стей, на ко­то­рые делит пра­виль­ную тре­уголь­ную приз­му ABCA1B1C1 плос­кость, па­рал­лель­ная диа­го­на­ли AC1 бо­ко­вой грани AA1C1C, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну C и центр сим­мет­рии бо­ко­вой грани AA1B1B, если пло­щадь се­че­ния приз­мы этой плос­ко­стью равна 21, а сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

1)  По­стро­е­ние се­че­ния. В плос­ко­сти бо­ко­вой грани AA1C1C через точку C про­ве­дем пря­мую A2C, па­рал­лель­ную AC1, точка A2  — точка пе­ре­се­че­ния AA1 и A2C, A A_1=A A_2. Пусть D  — центр сим­мет­рии бо­ко­вой грани AA1B1B. Через точку D про­во­дим пря­мую A2D, при­над­ле­жа­щую плос­ко­сти се­че­ния. Точка M точка пе­ре­се­че­ния AB и A2D, точка N  — точка пе­ре­се­че­ния A1B1 и A2D, точка L  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой BB1 и A2D,  A M=N B_1, B M=N A_1=2 A M,  A A_2=B B_1=B_1 L . Если обо­зна­чить сто­ро­ну ос­но­ва­ния приз­мы через a, вы­со­ту приз­мы через h, то A M=B_1 N= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , B M=N A_1= дробь: чис­ли­тель: 2 a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  B B_1=B_1 L=h .

В плос­ко­сти ос­но­ва­ния A1B1C1 через точку N про­ве­дем пря­мую NK, па­рал­лель­ную MC, точка K  — точка пе­ре­се­че­ния NK и B1C1. Тра­пе­ция MNKC  — ис­ко­мое се­че­ние.

2)  Спро­еци­ру­ем се­че­ние на плос­кость ос­но­ва­ния ABC приз­мы. Пусть N1 и K1  — про­ек­ции точек N и K на плос­кость ABC. Тогда пря­мая N1K1 па­рал­лель­на MC, B K_1=K_1 C. Про­ек­ци­ей се­че­ния на плос­кость ос­но­ва­ния ABC яв­ля­ет­ся тра­пе­ция CMN1K1, ее пло­щадь

S_пр=S_B M C минус S_B N_1 K_1=S_A B C левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_A B C= дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби =7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

3)  Най­дем ко­си­нус угла α на­кло­на плос­ко­сти се­че­ния к плос­ко­сти ос­но­ва­ния приз­мы:

S_сеч= дробь: чис­ли­тель: S_пр, зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: S_пр, зна­ме­на­тель: S_сеч конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

4)  Най­дем вы­со­ту приз­мы h. По­стро­им плос­кость BHL, про­хо­дя­щую через точку B и пер­пен­ди­ку­ляр­ную MC линии пе­ре­се­че­ния ос­но­ва­ния и плос­ко­сти се­че­ния (BH и LH пер­пен­ди­ку­ляр­ны MC). Угол α на­кло­на плос­ко­сти се­че­ния к плос­ко­сти ос­но­ва­ния равен углу BHL, BL=2h.

5)  На­хо­дим:

B H умно­жить на C M=B M умно­жить на C D,

BH= дробь: чис­ли­тель: B M умно­жить на C D, зна­ме­на­тель: C M конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 2 a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та ,

 ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , \quad синус альфа = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,  \quad тан­генс альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

от­сю­да

2 h=B L=B H тан­генс альфа =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та \Rightarrow h=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

6)  Итого:

V_L B M C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_B M C умно­жить на B L= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_A B C умно­жить на B L= дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби умно­жить на B L= дробь: чис­ли­тель: 112, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

V_L B_1 N K= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби V_L B M C,

 V_B M C B_1 N K= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби V_L B M C= дробь: чис­ли­тель: 98, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

 V_A B C A_1 B_1 C_1=S_A B C умно­жить на B B_1= дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на h=84,

V_A M C A_1 N K C_1=84 минус дробь: чис­ли­тель: 98, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 154, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 112, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 154, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .


Аналоги к заданию № 3602: 3608 Все