РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3339 Добавить в вариант

Решить уравнение $косинус 2x плюс синус 3x= синус x.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное выражение:

$косинус 2 x плюс синус 3 x= синус x \Rightarrow косинус 2 x плюс левая круглая скобка синус 3 x минус синус x правая круглая скобка =0.$

Воспользуемся формулой

$синус альфа минус синус бета =2 синус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow косинус 2 x плюс 2 синус x косинус 2 x=0 \Rightarrow косинус 2 x левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка =0.$ $синус альфа минус синус бета =2 синус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow косинус 2 x плюс 2 синус x косинус 2 x=0 \Rightarrow косинус 2 x левая круглая скобка 1 плюс 2 синус x правая круглая скобка =0.$

Отсюда

$косинус 2 x=0 \Rightarrow 2 x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k \Rightarrow x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби$

или

$1 плюс 2 синус x=0 \Rightarrow синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс Пи n \Rightarrow x = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка плюс Пи n.$ $1 плюс 2 синус x=0 \Rightarrow синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс Пи n \Rightarrow x = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка плюс Пи n.$ $1 плюс 2 синус x=0 \Rightarrow синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс Пи n \Rightarrow$
$\Rightarrow x = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка плюс Пи n.$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n : k, n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Олимпиада Гранит науки, 9, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы тригонометрии. Формулы суммы и разности

Спрятать решение · Помощь