РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 313 Добавить в вариант

Произведение положительных чисел a и b больше 1. Докажите, что для любого натурального $n\geqslant2$ верно неравенство

$левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в степени n больше a в степени n плюс b в степени n плюс 2 в степени n минус 2.$

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

$левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в степени n =a в степени n плюс t_n минус 1a в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка b плюс t_n минус 2a в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка b в квадрате плюс ... плюс t_1ab в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс b в степени n ,$

где t_k  — целые числа, зависящие от n и k, но не зависящие от a и b, и при этом

$t_n минус 1=t_1,$ $t_n минус 2=t_2,...,$ $t_n минус k=t_k, ... левая круглая скобка * правая круглая скобка$

При $a=b=1$ имеем: $2 в степени n =1 плюс t_n минус 1 плюс t_n минус 2 плюс ... плюс t_1 плюс 1. левая круглая скобка ** правая круглая скобка$

$левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в степени n =a в степени n плюс b в степени n плюс t_n минус 1 левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка b плюс ab в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс t_n минус 2 левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка b в квадрате плюс a в квадрате b в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс ...$

$плюс t_n минус k левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка b в степени k плюс a в степени k b в степени левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка правая круглая скобка плюс ....$

Воспользуемся неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом: для любых положительных чисел x и y справедливо неравенство

$дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно xy.$

Тогда

$a в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка b плюс ab в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка \geqslant2 корень из: начало аргумента: a в степени n b в степени n конец аргумента больше 2,$

$a в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка b в квадрате плюс a в квадрате b в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка \geqslant2 корень из: начало аргумента: a в степени n b в степени n конец аргумента больше 2,...,a в степени левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка b в степени k плюс a в степени k b в степени левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка больше или равно 2 корень из: начало аргумента: a в степени n b в степени n конец аргумента больше 2,....$ $a в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка b в квадрате плюс a в квадрате b в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка \geqslant2 корень из: начало аргумента: a в степени n b в степени n конец аргумента больше 2,...,a в степени левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка b в степени k плюс$
$плюс a в степени k b в степени левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка больше или равно 2 корень из: начало аргумента: a в степени n b в степени n конец аргумента больше 2,....$

Учитывая эти неравенства, симметрию коэффициентов $левая круглая скобка * правая круглая скобка$ и равенство $левая круглая скобка ** правая круглая скобка ,$ получим требуемое.

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами, Алгебра. Неравенства со средними, Методы алгебры. Симметризация выражений

Спрятать решение · Помощь