РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3083 Добавить в вариант

Решить систему уравнений

$система выражений синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x конец дроби = синус y, косинус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус x конец дроби = косинус y. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Запишем ОДЗ: $синус x не равно 0$ и $косинус x не равно 0.$ Тогда

$система выражений синус в квадрате x минус 1= синус y синус x, \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка косинус в квадрате x минус 1= косинус y косинус x, \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы .$

откуда

$\left \beginalign левая круглая скобка 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 правая круглая скобка \endalign . система выражений синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x минус 2= косинус y косинус x плюс синус y синус x, косинус в квадрате x минус синус в квадрате x= косинус y косинус x минус синус y синус x конец системы . равносильно система выражений косинус левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка = минус 1, косинус 2x= косинус левая круглая скобка y плюс x правая круглая скобка . конец системы .$ $\left \beginalign левая круглая скобка 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 правая круглая скобка \endalign . система выражений синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x минус 2= косинус y косинус x плюс синус y синус x, косинус в квадрате x минус синус в квадрате x= косинус y косинус x минус синус y синус x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка = минус 1, косинус 2x= косинус левая круглая скобка y плюс x правая круглая скобка . конец системы .$

Из первого уравнения системы: $y минус x= Пи плюс 2 Пи k,$ то есть $y=x плюс Пи плюс 2 Пи n.$

Из второго уравнения системы:

$косинус 2 x= косинус левая круглая скобка x плюс Пи плюс 2 Пи n плюс x правая круглая скобка равносильно косинус 2 x= минус косинус 2 x равносильно 2 косинус 2 x=0,2 x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k.$ $косинус 2 x= косинус левая круглая скобка x плюс Пи плюс 2 Пи n плюс x правая круглая скобка равносильно косинус 2 x= минус косинус 2 x равносильно$
$равносильно 2 косинус 2 x=0,2 x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k.$

Тогда

$y= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k плюс 2 Пи n= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка k плюс 4 n правая круглая скобка .$

Пусть $k плюс 4 n=l$ при $k, l, n принадлежит Z .$ Получаем

$y= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби l= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 5 плюс 2 l правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 1 плюс 2 k правая круглая скобка ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 5 плюс 2 l правая круглая скобка правая круглая скобка : k, l принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Олимпиада Газпром, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Система тригонометрических уравнений, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь