РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2970 Добавить в вариант

Найдите все значения a, для которых квадратичная функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате минус 2ax плюс 1$ принимает во всех точках отрезка [0; 2] значения, модуль которых не превосходит 2. В ответе укажите суммарную длину промежутков, которым принадлежат найденные значения a.

Спрятать решение

Решение.

Чтобы функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ была квадратичной, необходимо, чтобы $a не равно q 0 .$ Вершина параболы, являвшейся графиком данной функции, находится в точке $левая круглая скобка 1; 1 минус a правая круглая скобка .$ Поскольку $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =1,$ условие задачи выполнено, если $|1 минус a| меньше или равно 2,$ то есть $минус 1 меньше или равно a меньше или равно 3 .$ Значит, искомым множеством значений а является объединение $левая квадратная скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая квадратная скобка ,$ а суммарная длина этих промежутков равна 4.

Ответ: 4 (искомое значений a: $левая квадратная скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая квадратная скобка правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 2970: 2971 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 9 класс, 1 тур (отборочный) 1 этап, 2018 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Параметр и квадратных трехчлен

Спрятать решение · Помощь