PDF-версии: 
В футбольном турнире участвовали 17 команд, каждая из которых сыграла с каждой изостальных по одному разу. Могло ли у каждой команды число одержанных ею победравняться числу матчей, сыгранных ею вничью?
Решение. Предположим противное, что у каждой команды число одержанных ею побед равняется числу матчей, сыгранных ею вничью. Найдём сумму S количеств всех побед, ничьих и поражений всех команд. В этой сумме общее число всех одержанных побед будет равно общему числу всех поражений и оба этих количества, по предположению, равны общему числу всех ничьих. Отсюда следует, что S должно делиться на 3, однако оно равно удвоенному числу всех сыгранных матчей, то есть 17 · 16 = 272 и не делится на 3 — противоречие. Следовательно, предположение неверно и не могло у каждой команды число одержанных ею побед равняться числу матчей, сыгранных ею вничью.
Ответ: Нет, не могло.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Показано, что общее число всех одержанных побед будет равнообщему числу всех поражений. | 2 |
| Показано, что оба этих количества равны общему числу всех ничьих. | 3 |
| Проведено суммирование количеств всех побед, ничьих ипоражений всех команд и показано, что оно не делится на 3. | 2 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |