РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 2892 Добавить в вариант

Пусть S(n) означает сумму цифр натурального числа n. Докажите, что существует бесконечное множество натуральных чисел n, не заканчивающихся на 0, таких, что $S левая круглая скобка n в квадрате правая круглая скобка =S левая круглая скобка n правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Подходят все числа вида: $n=10 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка минус 1,$ то есть $10 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка минус 1=\underbrace9 \ldots 9_k,$ тогда $S левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =9 k;$ и

$n в квадрате = левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате =10 в степени левая круглая скобка 2 k правая круглая скобка минус 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка плюс 1=\underbrace9 \ldots 9_k минус 1 8 \underbrace0 \ldots 0_k минус 1 1,$

отсюда $S левая круглая скобка n в квадрате правая круглая скобка =9 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс 8 плюс 1=9 k .$

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Сумма цифр числа

Спрятать решение · Помощь