Существует ли прямоугольный параллелепипед, у которого длины всех ребер иррациональны, а объем, полная поверхность и большая диагональ – числа целые? (Прямоугольный параллелепипед – это фигура в пространстве, задаваемая неравенствами 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c, где a, b, c > 0 – фиксированные числа. Большая диагональ – это максимальное расстояние между вершинами параллелепипеда.)
Нам нужно найти такие иррациональные a, b, c, что abc ∈ Z, 2(ab + bc + ac) ∈ Z, a2 + b2 + c2— полный квадрат. Например, нам подойдут корни многочлена x3 − 9x2 + 16x − 1. Легко видеть, что у него 3 положительных корня (достаточно посмотреть на значения в 0, 2, 4, 8), что у него нет рациональных корней (их числитель и знаменатель будут обязаны делить единицу, то есть быть равными ±1). При этом произведение корней равно 1, сумма попарных произведений равна 16, a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 − 2(ab+bc+ac) = 92 − 2 · 16 = 81 − 32 = 49, значит, большая диагональ равна 7.
Ответ: да, существует.