До­ка­жем, что точки ка­са­ния впи­сан­ных окруж­но­стей тре­уголь­ни­ков ABC и ADC с диа­го­на­лью AC сов­па­да­ют.

В самом деле, обо­зна­чим точки ка­са­ния T_B и T_D со­от­вет­ствен­но. Тогда и Кри­те­рий опи­сан­но­сти че­ты­рех­уголь­ни­ка это ра­вен­ство рав­но­силь­но

Те­перь легко ви­деть, что кар­тин­ка од­но­знач­но за­да­ет­ся ра­ди­у­сом впи­сан­ных окруж­но­стей тре­уголь­ни­ков ABC и ADC и рас­сто­я­ни­я­ми от точки ка­са­ния до точек A и C. Зна­чит, кар­тин­ка пе­ре­хо­дит в себя при сим­мет­рии от­но­си­тель­но пря­мой AC, при этом точки B и D ме­ня­ют­ся ме­ста­ми. Но это озна­ча­ет, что BD пер­пен­ди­ку­ляр­на AC, итак ответ 90°.

Ответ: 90°.