Для этой за­да­чи мы при­ве­дем не­лю­би­мое гео­мет­ра­ми счет­ное ре­ше­ние, но по­про­бу­ем хотя бы счет сде­лать эс­те­тич­ным. Нач­нем с обо­зна­че­ний. Пусть длина сто­ро­ны квад­ра­та l. Про­длим AH до пе­ре­се­че­ния с PQ (есте­ствен­но, нам же ровно про эти два от­рез­ка надо 2 до­ка­зать, что они пер­пен­ди­ку­ляр­ны), точку пе­ре­се­че­ния обо­зна­чим через R. Длины от­рез­ков BP, PR, RQ и QD обо­зна­чим через x, y, z и t со­от­вет­ствен­но.

Мы ввели пе­ре­мен­ных слег­ка с за­па­сом, за­ду­ма­ем­ся, какие со­от­но­ше­ния на них мы знаем. Во-пер­вых, за­пи­сав тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка PCQ имеем:

Во-вто­рых, за­пи­шем тео­ре­му Чевы для тре­уголь­ни­ка APQ. За­ме­тим что по­сколь­ку BD – бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка ABP, она делит AP в от­но­ше­нии бо­ко­вых сто­рон, то есть и Ана­ло­гич­но и Таким об­ра­зом, т. Чевы гла­сит:

Со­кра­щая оди­на­ко­вые мно­жи­те­ли (все они не равны нулю, ибо все не мень­ше l > 0) по­лу­ча­ем мы поз­во­лим себе воль­ность за­пи­сы­вать это со­от­но­ше­ние как по­сколь­ку все пе­ре­мен­ные по­ло­жи­тель­ны из кар­тин­ки.

Те­перь пой­мем, как за­пи­сы­ва­ет­ся усло­вие за­да­чи в тер­ми­нах вве­ден­ных пе­ре­мен­ных. С опи­сан­но­стью PQNM все про­сто: эти че­ты­ре точки лежат на одной окруж­но­сти тогда и толь­ко тогда, когда |AP| · |AM| = |AQ| · |AN|, поль­зу­ясь ранее вы­пи­сан­ны­ми дли­на­ми имеем что рав­но­силь­но

Чуть слож­нее с усло­ви­ем, что AR ⊥ PQ. Из него, оче­вид­но, сле­ду­ет что (для пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков APR и AQR с общим ка­те­том раз­ность квад­ра­тов дру­гих ка­те­тов равна раз­но­сти квад­ра­тов ги­по­те­нуз). Об­рат­ное тоже верно: за­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков APR и AQR и вы­чтем ра­вен­ства. Имеем:

Зна­чит ра­вен­ство x² − t² = y² − z² вле­чет 2(y + z)|AR| cos ∠PRA = 0, но это и озна­ча­ет, что ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние от­рез­ков AR и PQ равно нулю, то есть для ал­геб­ра­и­ста они пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Для гео­мет­ра – что от­рез­ки пер­пен­ди­ку­ляр­ны или один из них равен нулю, что не­воз­мож­но в усло­ви­ях за­да­чи: |PQ| = 0 озна­ча­ет, что обе точки P и Q сов­па­ли с C, но они на сто­ро­нах квад­ра­та а не в вер­ши­не. |AR| = 0 озна­ча­ет, что A лежит на PQ, что тоже про­ти­во­ре­чит тому, что точки взяты на сто­ро­нах а не на их про­дол­же­ни­ях.

Итак, в за­да­че тре­бу­ет­ся до­ка­зать рав­но­силь­ность двух си­стем

Этим и зай­мем­ся, благо из трех урав­не­ний два сов­па­да­ют, надо что-то сде­лать с тре­тьим. Левое оста­вим как есть, пре­об­ра­зу­ем пра­вое.

Пред­ста­вим себе, что про пе­ре­мен­ные y и z нам со­об­ще­на их сумма и от­но­ше­ние: y + z = a и как вы­ра­зить y² − z² через a, b? Оче­вид­но Под­ста­вив a² и b из пер­во­го и вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы со­от­вет­ствен­но,

видим что тре­тье урав­не­ние пе­ре­пи­са­лось в виде после пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем – то есть то же, что и в левой си­сте­ме, с точ­но­стью до до­мно­же­ния на кон­стан­ту. Итак, си­сте­мы дей­стви­тель­но рав­но­силь­ны – за­да­ча ре­ше­на.

Ком­мен­та­рий. То что тре­тье урав­не­ние ока­зы­ва­ет­ся при­во­ди­мым озна­ча­ет, что есть два раз­ных слу­чая, когда точки P, Q, M, N лежат на одной окруж­но­сти. Один (оче­вид­ный) – когда x = t, и кар­тин­ка сим­мет­рич­на. Дру­гой – когда в более гео­мет­ри­че­ских тер­ми­нах: когда PQ виден из точки A под углом 45°.