РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 265 Добавить в вариант

На доске написана система из 12 различных уравнений с 6 неизвестными x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. Каждое уравнение имеет вид x_i + x_j + x_k = 0, где i ≠ j ≠ k (сумма трех различных неизвестных равна нулю). Могло ли оказаться так, что у системы бесконечно много решений?

Спрятать решение

Решение.

Могло. Пусть x₁ = x₂ = 2t, x₃ = x₄ = x₅ = x₆ = −t (при произвольном действительном t). Тогда равны нулю $левая круглая скобка \beginalign 21 \endalign правая круглая скобка левая круглая скобка \beginalign 42 \endalign правая круглая скобка$ = 2 · 6 = 12 сумм, а именно:

$система выражений x_1 плюс x_3 плюс x_4 = 0 ,x_2 плюс x_3 плюс x_4 = 0,x_1 плюс x_3 плюс x_5 = 0,x_2 плюс x_3 плюс x_5 = 0,x_1 плюс x_3 плюс x_6 = 0,x_2 плюс x_3 плюс x_6 = 0,x_1 плюс x_4 плюс x_5 = 0,x_2 плюс x_4 плюс x_5 = 0,x_1 плюс x_4 плюс x_6 = 0,x_2 плюс x_4 плюс x_6 = 0,x_1 плюс x_5 плюс x_6 = 0,x_2 плюс x_5 плюс x_6 = 0. конец системы .$

Комментарий: а для 13 такое уже невозможно.

Ответ: да, могло.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Приведено полное решение.	12
Приводится система требуемого вида, имеющая бесконечно много решений, но не написано доказательство того, что система имеет бесконечно много решений.	9
Попытка доказывать неверный ответ ИЛИ приводятся какие-то рассуждения о системах линейных уравнений, не содержащие явного указания системы требуемого вида, имеющей бесконечно число решений, или неявного доказательства ее существования.	0
Максимальный балл	12

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Методы алгебры. Замена переменной, Разное. Оценка плюс пример

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь