РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2633 Добавить в вариант

Найдите все целые решения уравнения $x натуральный логарифм 27 логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка e=27 логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка y.$ В ответе укажите сумму x + y для решения (x; y), где y  — наименьшее, превосходящее 70.

Спрятать решение

Решение.

Исходное уравнение равносильно уравнению

$дробь: числитель: x натуральный логарифм 27, знаменатель: натуральный логарифм 13 конец дроби = дробь: числитель: 27 натуральный логарифм y, знаменатель: натуральный логарифм 13 конец дроби равносильно x натуральный логарифм 27=27 натуральный логарифм y равносильно натуральный логарифм 27 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка = натуральный логарифм y в степени левая круглая скобка 27 правая круглая скобка равносильно 27 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка 27 правая круглая скобка равносильно 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка ,$ $дробь: числитель: x натуральный логарифм 27, знаменатель: натуральный логарифм 13 конец дроби = дробь: числитель: 27 натуральный логарифм y, знаменатель: натуральный логарифм 13 конец дроби равносильно x натуральный логарифм 27=27 натуральный логарифм y равносильно$
$равносильно натуральный логарифм 27 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка = натуральный логарифм y в степени левая круглая скобка 27 правая круглая скобка равносильно 27 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка 27 правая круглая скобка равносильно 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка ,$

при этом $y больше или равно 1,$ а значит, $x больше или равно 0 .$ Так как число 3 простое, то или $y=1$ (тогда $x=0 правая круглая скобка ,$ или y делится на три и не имеет других простых делителей. Значит, $y=3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка ,$ где $n больше или равно 0.$ Поэтому $x=9 n.$ Так как $y больше 70,$ то $n больше или равно 4,$ искомое решение: $левая круглая скобка x, y правая круглая скобка = левая круглая скобка 36, 81 правая круглая скобка .$ В ответ записываем $x плюс y=117.$

Ответ: 117.

Аналоги к заданию № 2633: 2634 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный) 1 этап, 2018 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения логарифмические, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь