РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 252 Добавить в вариант

Известно, что $дробь: числитель: a в квадрате b в квадрате , знаменатель: a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2 b в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка конец дроби =1.$ Найти все возможные значения выражения $дробь: числитель: a в квадрате минус b в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс b в квадрате конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Умножим на знаменатель и преобразуем равенство в условии к виду $b в квадрате левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус b в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус b в квадрате правая круглая скобка .$ При этом a, b не могут одновременно равняться нулю, иначе знаменатель дроби в условии обращается в 0. Следовательно, скобка $a в квадрате плюс b в квадрате$ тоже не равна нулю. Разделив на неё, получим $b в квадрате =a в квадрате минус b в квадрате ,$ откуда $a в квадрате =2b в квадрате$ (где a, b не равны 0). Подставив это выражение в дробь $дробь: числитель: a в квадрате минус b в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс b в квадрате конец дроби ,$ получим, что она равна $дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 3b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Не обращается внимание на то, что происходит деление на выражение, которое может равняться нулю.	5
Решено с помощью деления на $b в квадрате ,$ не разбирая $b=0.$	5
При преобразовании выражено $a в квадрате .$	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Действия с числами

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь