РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2417 Добавить в вариант

В восьмеричной системе $x = 31 31 \ldots 31,$ где блок 31 повторяется n раз. При каких n число x будет точным квадратом?

Спрятать решение

Решение.

Ясно, что $x \vdots 25$ и число $y= дробь: числитель: 9 x, знаменатель: 25 конец дроби$   — точный квадрат. Заметим, что

$7 y=63 левая круглая скобка 1 плюс 64 плюс 64 в квадрате плюс \ldots плюс 64 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =8 в степени левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка минус 1= левая круглая скобка 8 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка .$

Множители в правой части взаимно просты, поскольку они нечетны и различаются на 2. Число $8 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1$ кратно 7, поэтому $8 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1$ не делится на 7. Значит, $8 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 1$ является точным квадратом, то есть найдется натуральное число p, при котором

$8 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =p в квадрате минус 1= левая круглая скобка p минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка .$

Таким образом, $p минус 1$ и $p плюс 1$ будут степенями двойки, откуда $p=3$ и $n=1.$ Такое n, очевидно, удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $n=1.$

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Различные системы счисления

Спрятать решение · Помощь