Через точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника провели прямые, соответственно параллельные биссектрисам противоположных углов. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.
Рассмотрим любой из треугольников, образованных вершиной исходного треугольника и двумя точками касания вписанной окружности со смежными этой вершине сторонами. Поскольку отрезки касательных из вершины к окружности равны, этот треугольник равнобедренный и его биссектриса перпендикулярна отрезку, соединяющему точки касания. Следовательно, прямая, параллельная этой биссектрисе, проходящая через третью точку касания, является высотой треугольника, образованного точками касания вписанной окружности со сторонами исходного треугольника. Утверждение задачи следует теперь из теоремы о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.