На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD соответственно отмечены такие точки P и Q, что BP = DQ. Отрезки BQ и DP пересекаются в точке M. Какой из углов BAM и DAM больше?
Пусть E — точка пересечения прямых AD и BQ. Заметим, что подобны треугольники BPM и EDM, а также треугольники DQE и ABE. Поэтому
Значит, AM — биссектриса треугольника ABE, откуда 
Ответ: углы равны.
Приведем другое решение.
Пусть N — точка пересечения прямых AM и BD. Отрезки BN и DN относятся так же, как высоты треугольников ABM и ADM, опущенные на AM. Тогда
Заметим, что
и, аналогично,
Перемножая эти три равенства и учитывая условие 
мы получим
Таким образом, AN — биссектриса треугольника BAD, откуда
Приведем еще одно решение.
Пусть прямые AB и DM пересекаются в точке E, а AD и BM — в точке F. Проведем через точку M прямую KL параллельно AD и прямую MN параллельно AB (см. нижний рисунок). Заметим, что по двум углам подобны треугольники BKM и QLM, а также треугольники BEM и QDM. Тогда
Кроме того, из подобия треугольников DQF и LQM:
Поэтому 
откуда 
и
Поскольку мы получаем 
то есть AKMN — ромб. Значит, AM — биссектриса угла BAD.