РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2365 Добавить в вариант

Решите систему уравнений:

$система выражений 2 синус в квадрате x плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x синус в квадрате 2x плюс синус в квадрате 2x=0, косинус x= косинус y. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Решим 1-е уравнение системы:

$2 синус в квадрате x плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x синус в квадрате 2 x плюс синус в квадрате 2 x=0 равносильно левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс синус в квадрате 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс синус в квадрате 2 x косинус в квадрате 2 x=0 равносильно$
$равносильно система выражений корень из 2 синус x плюс синус в квадрате 2x=0, синус в квадрате 2x косинус в квадрате 2x=0 конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений синус x=0, синус 2x=0, конец системы . система выражений корень из 2 синус x плюс 1=0, косинус 2x=0. конец системы . конец совокупности .$ $2 синус в квадрате x плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x синус в квадрате 2 x плюс синус в квадрате 2 x=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x плюс синус в квадрате 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс синус в квадрате 2 x косинус в квадрате 2 x=0 равносильно$
$равносильно система выражений корень из 2 синус x плюс синус в квадрате 2x=0, синус в квадрате 2x косинус в квадрате 2x=0 конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений синус x=0, синус 2x=0, конец системы . система выражений корень из 2 синус x плюс 1=0, косинус 2x=0. конец системы . конец совокупности .$

Первая система имеет решение $x= Пи k,$ $k принадлежит Z .$

Возвращаясь к исходной системе уравнений, получаем равносильную ей систему

$совокупность выражений система выражений x=2 Пи k, косинус y=1, конец системы . система выражений x= Пи плюс 2 Пи k, косинус y= минус 1, конец системы . система выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k , косинус y= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x= минус дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, косинус y= минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=2 Пи k,y=2 Пи n, конец системы . система выражений x= Пи плюс 2 Пи k,y= Пи плюс 2 Пи n, конец системы . система выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,y=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, конец системы . система выражений x= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,y=\pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, конец системы . конец совокупности . k, n принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 2 Пи k; 2 Пи n правая круглая скобка , левая круглая скобка Пи плюс 2 Пи k; Пи плюс 2 Пи n правая круглая скобка , левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n правая круглая скобка , левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; \pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n правая круглая скобка : k, n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 2330: 2365 Все

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы алгебры. Выделение полного квадрата

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь