РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2318 Добавить в вариант

Найти целочисленные решения уравнения:

$2x в степени 4 минус 4y в степени 4 минус 7x в квадрате y в квадрате минус 27x в квадрате плюс 63y в квадрате плюс 85=0.$

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену: $x в квадрате =a$ и $y в квадрате =b,$ тогда уравнение примет вид:

$2 a в квадрате минус 4 b в квадрате минус 7 a b минус 27 a плюс 63 b плюс 85=0 равносильно 2 a в квадрате минус левая круглая скобка 7 b плюс 27 правая круглая скобка a минус 4 b в квадрате плюс 63 b плюс 85=0,$ $2 a в квадрате минус 4 b в квадрате минус 7 a b минус 27 a плюс 63 b плюс 85=0 равносильно$
$равносильно 2 a в квадрате минус левая круглая скобка 7 b плюс 27 правая круглая скобка a минус 4 b в квадрате плюс 63 b плюс 85=0,$

отсюда $D= левая круглая скобка 9 b минус 7 правая круглая скобка в квадрате ,$ корни уравнения $a_1=4 b плюс 5$ и $a_2= дробь: числитель: 17 минус b, знаменатель: 2 конец дроби .$

Первый случай:

$a=4 b плюс 5 равносильно x в квадрате =4 y в квадрате плюс 5 равносильно x в квадрате минус 4 y в квадрате =5 равносильно левая круглая скобка x минус 2 y правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 y правая круглая скобка =5.$

Возможны четыре варианта:

$совокупность выражений система выражений x минус 2 y=1, x плюс 2 y=5, конец системы . система выражений x минус 2 y=5, x плюс 2 y=1, конец системы . система выражений x минус 2 y= минус 1, x плюс 2 y= минус 5, конец системы . система выражений x минус 2 y= минус 5, x плюс 2 y= минус 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=3, y=1, конец системы . система выражений x=3, y= минус 1, конец системы . система выражений x= минус 3, y= минус 1, конец системы . система выражений x= минус 3, y=1. конец системы . конец совокупности .$

Второй случай:

$a= дробь: числитель: 17 минус b, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 x в квадрате =17 минус y в квадрате \Rightarrow 2 x в квадрате меньше или равно 17 равносильно x в квадрате меньше или равно 8,5 .$

Значит, x₂ может принимать значения 0, 1 или 4, вычисляем:

$y в квадрате =17 минус 2 x в квадрате \Rightarrow совокупность выражений система выражений x в квадрате =0,y в квадрате =17, конец системы . система выражений x в квадрате =1,y в квадрате =15, конец системы . система выражений x в квадрате =4,y в квадрате =9 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений \varnothing,\varnothing, система выражений x= \pm 2,y=\pm 3. конец системы . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 3; \pm 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 3; \pm 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка 2; \pm 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 2; \pm 3 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы
15	Обоснованно получен правильный ответ.
9	Верно решено одно из полученных уравнений.
3	Левая часть уравнения верно разложена на множители.
0	Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям.

Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах нелинейные уравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь