РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2119 Добавить в вариант

Числа u и v являются корнями квадратного трехчлена $x в квадрате плюс ax плюс b$ с целыми коэффициентами. Для любого натурального n докажите, что если a² делится на b, то $u в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка 2n правая круглая скобка$ делится на bⁿ.

Спрятать решение

Решение.

Докажем индукцией по n, что $u в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка$ делится на $b в степени левая круглая скобка левая квадратная скобка дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка .$ Базы $n=1$ и $n=2$ легко проверяются: $u плюс v$ делится на $b в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1$ и

$u в квадрате плюс v в квадрате = левая круглая скобка u плюс v правая круглая скобка в квадрате минус 2 u v=a в квадрате минус 2 b$

делится на b¹. Установим переход от $n минус 2$ и $n минус 1$ к n. Поскольку u  — корень трехчлена, $u в квадрате = минус a u минус b$ и, следовательно,

$u в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка = минус a u в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус b u в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка .$

Аналогично $v в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка = минус a v в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус b v в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка .$ Сложим эти равенства, получим

$u в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка = минус a левая круглая скобка u в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка минус b левая круглая скобка u в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

По индукционному предположению второе слагаемое делится на

$b умножить на b в степени левая круглая скобка левая квадратная скобка дробь: числитель: левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка =b в степени левая круглая скобка левая квадратная скобка дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка .$

Квадрат первого слагаемого делится на $a в квадрате умножить на b в степени левая круглая скобка 2 левая квадратная скобка дробь: числитель: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка ,$ что в свою очередь кратно b в степени $1 плюс 2 левая квадратная скобка дробь: числитель: левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка больше или равно n.$ Стало быть, первое слагаемое делится на $b в степени левая круглая скобка левая квадратная скобка дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби \rigth правая квадратная скобка правая круглая скобка .$

Олимпиада СПБГУ, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Методы алгебры. Метод математической индукции

Спрятать решение · Помощь