РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1999 Добавить в вариант

В квадратной таблице из 2015 строк и столбцов расставлены положительные числа. Произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате размером $1008 \times 1008$ клеток равно 2. Какое число стоит в центре таблицы?

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим первые 1008 строк таблицы. Из дополнительного условия следует, что если покрывать эти строки двумя квадратами размера $1008 \times 1008,$ то эти квадраты перекроются одним столбцом. Обозначим произведение чисел в этом столбике (их 1008 штук) через M.

Тогда произведение всех чисел в первых 1008 строках таблицы равно, с одной стороны, 1, а с другой стороны, $дробь: числитель: 2 в квадрате , знаменатель: M конец дроби .$ Таким образом, $M=4.$

Теперь рассмотрим средний столбец таблицы. Он аналогичным образом разбивается на два блока по 1008 элементов, которые перекрываются на центральном элементе таблицы (если двигаться сверху и снизу навстречу). Обозначим этот элемент C.

Произведение всех чисел этого столбца равно 1. Поэтому $1= дробь: числитель: M в квадрате , знаменатель: C конец дроби .$ Откуда $C=M в квадрате =16 .$

Ответ: в центре таблицы стоит число 16.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

1.  Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.

2.  Задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0

Недочеты  — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.

Негрубые ошибки  — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.

Грубые ошибки.

I.  Логические, приводящие к неверному заключению.

II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.

III.  Неверный чертеж в геометрических задачах.

IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

3.  Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.

4.  По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.

5.  Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.

Олимпиада школьников Надежда энергетики, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь