Три одинаковых конуса с вершиной A касаются друг друга внешним образом. Каждый из них касается внутренним образом четвертого конуса с вершиной в точке A и углом при вершине 
Найдите угол при вершине у одинаковых конусов. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
Обозначим искомый угол через 2α. Впишем в равные конусы шары с центрами O1, O2, O3 одного радиуса r. Они, очевидно, касаются друг друга. Пусть четвертый конус касается этих шаров в точках B, C, D. Тогда 
и, значит, эти точки лежат на некотором шаре с центром O радиуса R, вписанном в четвертый конус. Этот шар касается шаров, вписанных в одинаковые конусы (так как, например, шары с центрами в O и O1 касаются в точке B плоскости, содержащей образующую AB и касающейся четвертого конуса). Поэтому точки O1, O2, O3 лежат на отрезках OB, OC, OD соответственно. Тогда
Kроме того, прямоугольные треугольники ABO1, ACO2 и ADO3 равны по двум катетам, откуда 
Значит, прямая AO проходит через центр H описанной окружности треугольника O1O2O3 перпендикулярно к его плоскости. Заметим, что этот треугольник правильный и 
откуда 
С другой стороны,
Поскольку
мы получаем
Ответ: 