На плоскости отмечены 
точек, причём никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре — на одной окружности. Докажите, что существует окружность, проходящая через три из этих точек, внутри которой лежит 
точек и снаружи — тоже 
Лемма: можно выбрать точки A и B так, что все остальные точки лежат в одной полуплоскости от прямой AB.
Доказательство леммы. Возьмём прямую, относительно которой вообще все точки лежат в одной полуплоскости. Будем параллельно перемещать её к точкам, пока одна из точек (назовём её A) не попадёт на прямую. Теперь будем вращать эту прямую вокруг точки A до тех пор, пока на неё не попадёт ещё одна точка набора, которую назовём B.
Для тех, кто знаком с понятием выпуклой оболочки множества точек, заметим, что в качестве A и B подойдут любые две соседние вершины выпуклой оболочки.
Итак, пусть такие точки A и B выбраны. Для всех остальных точек X углы AXB различны, ведь если для точек X и Y они равны, то точки A, B, X, Y лежат на одной окружности. Упорядочим точки (кроме A и B) по увеличению этого угла. Пусть M — средняя из этих точек. Тогда окружность, содержащая точки A, B, M — искомая.
----------
Дублирует задание 1884.