На высоте BH треугольника ABC отмечена некоторая точка D. Прямая AD пересекает сторону BC в точке E, прямая CD пересекает сторону AB в точке F. Точки G и J являются проекциями соответственно точек F и E на сторону AC. Площадь треугольника HEJ вдвое больше площади треугольник HFG. В каком отношении высота BH делит отрезок FE?
Пусть T — точка пересечения AE и FG, M — точка пересечения CF и EJ, K — точка пересечения BH и FE (см. рисунок). Так как треугольники FDT и MDE подобны, по теореме Фалеса
Треугольники AFT и ABD подобны с коэффициентом, равным отношению их высот. Поэтому
Аналогичным образом получаем, что 
Тогда 
откуда
Значит, прямоугольные треугольники HEJ и HFG подобны. В силу теоремы Фалеса
Ответ: 
считая от точки E.
Приведем другое решение. Пусть 
и 
где K — точка пересечения BH и FE. Заметим, что 
Тогда 
откуда вытекает подобие прямоугольных треугольников HEJ и HFG. В силу теоремы Фалеса
