сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD внут­ри тре­уголь­ни­ка ADC вы­бра­на точка E, при­чем \angleBAE = \angleBEA = 80 гра­ду­сов, \angleCAD = \angleCDA=80 гра­ду­сов и \angleEAD = \angleEDA=50 гра­ду­сов. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BEC рав­но­сто­рон­ний.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

1.  Из из­вест­ных углов на­хо­дим: \angle A E D=80 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда  \angle C A E=80 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 50 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка и  \angle B A C=80 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =50 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

2.  Точки C и E рав­но­уда­ле­ны от кон­цов от­рез­ка AD, по­это­му лежат на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к нему. Зна­чит, CE  — ось сим­мет­рии тре­уголь­ни­ка ACD, и \angle A E C=\angle D E C.

3.  Зна­чит, \angle A E D плюс 2 \angle A E C=360 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да \angle A E C=140 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , сле­до­ва­тель­но,

 \angle B E C=\angle A E C минус \angle A E B=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Оста­лось до­ка­зать, что B E=E C.

4.  От­ме­тим на луче EC такую точку F, что E F=E B, тогда тре­уголь­ник BEF рав­но­сто­рон­ний.

5.  Так B F=B E и  B E=B A, по­это­му B F=B A. Зна­чит, тре­уголь­ник BAF рав­но­бед­рен­ный. Его угол про­тив ос­но­ва­ния равен

\angle A B F=\angle A B E плюс \angle E B F=20 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =80 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­это­му угол при ос­но­ва­нии

\angle B A E= дробь: чис­ли­тель: 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 80 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =50 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

6.  Но это зна­чит, что угол BAF сов­па­да­ет с углом BAC, то есть точка F  — с точ­кой C. Итак, тре­уголь­ник BEC рав­но­сто­рон­ний, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 1799.

Спрятать критерии
Критерии проверки: