Если ис­ко­мое число n не­чет­но, то все его де­ли­те­ли были бы не­чет­ны, то сумма квад­ра­тов любых пяти его де­ли­те­лей дает оста­ток 5 по мо­ду­лю 8 и по­то­му не может быть точ­ным квад­ра­том. Если число n не крат­но трем, то эта сумма квад­ра­тов дает оста­ток 2 по мо­ду­лю 3 и не может быть точ­ным квад­ра­том. Сле­до­ва­тель­но, n крат­но двум и трём. Тогда среди пяти наи­мень­ших де­ли­те­лей числа n име­ют­ся числа 1, 2, 3 и, воз­мож­но, 6. Если 6 не вхо­дит в число пяти наи­мень­ших де­ли­те­лей, то эти де­ли­те­ли  — 1, 2, 3, 4, 5; сумма их квад­ра­тов равна 55  — не яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том. Таким об­ра­зом, че­ты­ре из пяти наи­мень­ших де­ли­те­лей n  — это 1, 2, 3, 6. Зна­чит, среди пяти наи­мень­ших де­ли­те­лей два или три не­чет­ных числа и тогда сумма квад­ра­тов де­ли­те­лей равна 2 или 3 по мо­ду­лю 4, что опять не­воз­мож­но для точ­ных квад­ра­тов.

Ответ: таких чисел не су­ще­ству­ет.