На плоскости дан выпуклый многоугольник с вершинами в целых точках, содержащий внутри начало координат O. Пусть V1 — множество векторов, идущих из O в вершины многоугольника, а V2 — множество векторов, идущих из O во все целые точки, содержащиеся внутри и на границе многоугольника (таким образом, V1 содержится в V2). Два кузнечика прыгают по целым точкам: каждый прыжок первого кузнечика смещает его на вектор из множества V1, а второго — из V2. Докажите, что для некоторого числа c верно следующее утверждение: если оба кузнечика могут допрыгать из O до некоторой точки A, причем второму понадобится для этого n прыжков, то первый сможет сделать это не более чем за n + c прыжков.
(А. Акопян)
тогда 
лежит в треугольнике с вершинами 
из 
и, значит, 
где α, β, γ — неотрицательные рациональные числа с суммой 1 (они пропорциональны площадям треугольников vbc, vac, vab соответственно). Если 
—
прыжков на вектор 
прыжков на вектор 
прыжков на вектор 
Таким образом, можно считать, что второй кузнечик использует прыжок на вектор 
раз. 
такая что 
где 
и 
обозначают количества прыжков, необходимых первому и второму кузнечикам соответственно, чтобы достичь 
всегда один и тот же — ведь мы добились того, что количество возможных таких наборов конечно. Еще несколько раз переходя к подпоследовательности, можем считать, что для каждого вектора 
количество 
прыжков на вектор 
у второго кузнечика для достижения точки 
стабилизируется или же возрастает к бесконечности. Это позволяет считать, что при 
точка 
причем все прыжки из 
в 
и их количество равно 
Но тогда первый кузнечик может попасть в 