В выпуклом четырехугольнике ABCD внутри треугольника ADC выбрана точка E, причем 
и 
Докажите, что треугольник BEC равносторонний.
1. Из известных углов находим:
тогда 
2. Точки C и E равноудалены от концов отрезка AD, поэтому лежат на серединном перпендикуляре к нему. Значит, CE — ось симметрии треугольника ACD, и 
3. Значит, 
откуда 
следовательно,
Осталось доказать, что 
4. Отметим на луче EC такую точку F, что 
тогда треугольник BEF равносторонний.
5. Так 
и 
поэтому 
Значит, треугольник BAF равнобедренный. Его угол против основания равен
поэтому угол при основании
6. Но это значит, что угол BAF совпадает с углом BAC, то есть точка F — с точкой C. Итак, треугольник BEC равносторонний, что и требовалось доказать.