РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1796 Добавить в вариант

Найдите все натуральные числа n, для которых $2 в степени n плюс n в степени левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка$   — простое число.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим три случая.

1)  если n чётно, то данное число тоже чётно (и больше двух при $n больше 0 правая круглая скобка ;$

2)  если n нечётно и не делится на 3, то $2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка$ даёт остаток 2 от деления на 3, а $n в степени левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка = левая круглая скобка n в степени левая круглая скобка 504 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$ даёт остаток 1 от деления на 3, поэтому сумма делится на 3 (и больше трёх при $n больше 1 правая круглая скобка .$ При $n=1$ результат равен 3, то есть является простым числом;

3)  наконец, пусть n делится на 3 (и нечётно, что не используется). Тогда число, о котором идёт речь, является суммой кубов: если $n=3 k,$ то

$2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс n в степени левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка n в степени левая круглая скобка 672 правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе = левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка плюс n в степени левая круглая скобка 672 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2 k правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка умножить на n в степени левая круглая скобка 672 правая круглая скобка плюс n в степени левая круглая скобка 2 минус 672 правая круглая скобка правая круглая скобка$

составное число (очевидно, что $1 меньше 2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка плюс n в степени левая круглая скобка 672 правая круглая скобка меньше 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс n в степени левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка$ при ⩾ 3).

Ответ: $n=1.$

Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие», 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Простые числа

Спрятать решение · Помощь