сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа n, для ко­то­рых 2 в сте­пе­ни n плюс n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2016 пра­вая круг­лая скоб­ка   — про­стое число.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим три слу­чая.

1)  если n чётно, то дан­ное число тоже чётно (и боль­ше двух при n боль­ше 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ;

2)  если n нечётно и не де­лит­ся на 3, то 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка даёт оста­ток 2 от де­ле­ния на 3, а n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2016 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 504 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка даёт оста­ток 1 от де­ле­ния на 3, по­это­му сумма де­лит­ся на 3 (и боль­ше трёх при n боль­ше 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . При n=1 ре­зуль­тат равен 3, то есть яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом;

3)  на­ко­нец, пусть n де­лит­ся на 3 (и нечётно, что не ис­поль­зу­ет­ся). Тогда число, о ко­то­ром идёт речь, яв­ля­ет­ся сум­мой кубов: если n=3 k, то

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2016 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс левая круг­лая скоб­ка n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 672 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка плюс n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 672 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 672 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус 672 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка

со­став­ное число (оче­вид­но, что 1 мень­ше 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка плюс n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 672 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2016 пра­вая круг­лая скоб­ка при ⩾ 3).

 

Ответ: n=1.