За­ме­тим, что всего име­ет­ся гра­нич­ных кле­ток доски. Для удоб­ства из­ло­же­ния вме­сто них будем рас­смат­ри­вать вер­ши­ны пра­виль­но­го 396-уголь­ни­ка. Со­сед­ним по сто­ро­не клет­кам со­от­вет­ству­ют со­сед­ние вер­ши­ны, а клет­кам, сим­мет­рич­ным от­но­си­тель­но цен­тра доски, со­от­вет­ству­ют вер­ши­ны, сим­мет­рич­ные от­но­си­тель­но цен­тра мно­го­уголь­ни­ка О. Путь Вася и Толя дей­ству­ют по сле­ду­ю­ще­му пра­ви­лу: если Петя за­кра­сил не­ко­то­рую вер­ши­ну P, то Вася за­кра­сит такую вер­ши­ну V, что а Толя  — такую вер­ши­ну T, что (углы мы счи­та­ем как обыч­но про­тив ча­со­вой стрел­ки). В ре­зуль­та­те трой­ка за­кра­шен­ных вер­шин об­ра­зу­ет рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, и каж­дый раз после хода Толи мно­же­ство за­кра­шен­ных вер­шин об­ла­да­ет сим­мет­ри­ей тре­тье­го по­ряд­ка, т. е. оно не ме­ня­ет­ся при по­во­ро­те во­круг точки O на По­ка­жем, что Вася и Толя все­гда смо­гут по­хо­дить.

Пред­по­ло­жим, что Петя за­кра­сил вер­ши­ну P, после чего Вася не может сде­лать ход. На то могут быть две при­чи­ны: вер­ши­на V, ко­то­рую стра­те­гия пред­пи­сы­ва­ет за­кра­сить, уже за­кра­ше­на или на­про­тив P на­хо­дит­ся за­кра­шен­ная вер­ши­на. В силу упо­мя­ну­то­го свой­ства сим­мет­рии в пер­вом слу­чае долж­на быть за­кра­ше­на и вер­ши­на P, а во вто­ром  — долж­на быть за­кра­ше­на вер­ши­на на­про­тив P, и то и дру­гое не­воз­мож­но. По­это­му Вася все­гда смо­жет по­хо­дить. По ана­ло­гич­ным при­чи­нам все­гда смо­жет по­хо­дить и Толя. А по­сколь­ку в игре может быть сде­ла­но не более 396 ходов, игра когда-ни­будь за­кон­чит­ся и, зна­чит, про­иг­ра­ет Петя.

Ответ: могут.