РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1758 Добавить в вариант

Найдите все такие числа k, для которых $левая круглая скобка дробь: числитель: k, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ! левая круглая скобка дробь: числитель: k, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = 2016 плюс k в квадрате .$

Знаком $n!$ обозначен факториал числа n, то есть произведение всех целых чисел от 1 до n включительно (определен только для целых неотрицательных чисел; 0!  =  1).

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что левая часть имеет смысл только для чётных значений k. Непосредственно убеждаемся, что $k=2, 4, 6, 8, 10$ не подходят, а $k=12$ даёт верное равенство. При каждом дальнейшем увеличении k на 2 выражение $левая круглая скобка дробь: числитель: k, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка !$ увеличивается хотя бы в 7 раз, то есть левая часть растёт более чем в 7 раз. В то же время правая часть увеличивается менее чем вдвое:

$левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус k в квадрате меньше 2016 плюс k в квадрате$

при всех $k больше или равно 12.$ Поэтому при $k больше 12$ левая часть больше правой.

Ответ: $k=12.$

Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие», 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения комбинированные (без триг.), Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах

Спрятать решение · Помощь