РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 1746 Добавить в вариант

Санкт-Петербургская олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности вписанные, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих, Олимпиадная геометрия. Неравенства в геометрии

Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AC в точке B₁, а стороны BC в точке A₁. На стороне AB нашлась такая точка K, что AK = KB₁, BK = KA₁. Докажите, что $\angle ACB больше 60 градусов .$

(П. Затицкий, Ф. Петров)

Решение. Обозначим через $C_1$ точку касания вписанной окружности со стороной $A B,$ пусть $\angle B A C=2 альфа$ и $\angle A B C=2 бета .$ Torда M

$\angle C_1 A_1 B=\angle A_1 C_1 B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус бета$

в силу того, что $B_1 A=A C_1$ и $A_1 B=B C_1$ как отрезки касательных. Также нетрудно подсчитать, что $\angle A K B_1=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 4 альфа$ и $\angle B K A_1=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 4 бета .$ Далее заметим, что точка K лежит либо вне описанной окружности треугольника $A_1 B_1 C_1,$ либо на этой окружности, поэтому $\angle B_1 C_1 A_1 больше или равно \angle B_1 K A_1 .$ Мы знаем, чему равны углы, смежные к данным, поэтому легко можем вычислить и их самих:

$альфа плюс бета =\angle B_1 C_1 A_1 больше или равно \angle B_1 K A_1=4 альфа плюс 4 бета минус 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $альфа плюс бета =\angle B_1 C_1 A_1 больше или равно \angle B_1 K A_1=$
$=4 альфа плюс 4 бета минус 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $альфа плюс бета =$
$=\angle B_1 C_1 A_1 больше или равно \angle B_1 K A_1=$
$=4 альфа плюс 4 бета минус 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

то есть $60 больше или равно альфа плюс бета .$ Откуда получаем неравенство

$\angle A C B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 альфа минус 2 бета больше или равно 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Олимпиада: Санкт-Петербургская олимпиада школьников

Класс: 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2016

Ключ