Блок из N подряд идущих натуральных чисел называется хорошим, если произведение каких-то двух из них делится на сумму остальных. Для каких N существует бесконечно много хороших блоков?
(С. Берлов)
Решение 1 (делимость). Пусть блок 
оказался хорошим. Сумма всех чисел этого блока равна
Предположим, что произведение 
(где 
делится на сумму остальных чисел блока, т. е. на
Рассмотрим наибольший общий делитель чисел 
и s:
Если 
то
Аналогично, если 
то 
Но тогда
что невозможно при больших k, например, при 
Следовательно, при больших k либо
либо
Рассмотрим первый случай. Поскольку
число 
делится на N. По условию 
и, значит, 
не делится на N. Тогда 
и число N четно.
Пусть 
и 
Тогда 
и 
Возьмем 
Тогда 
должно делиться на
То есть 
должно делиться на 
Это бывает, когда 
Стало быть, все четные N подходят.
Решение 2. Пусть 
Рассмотрим блок, состоящий из чисел 
Их сумма равна 
а сумма всех этих чисел, кроме k и равна 
Тогда число 
делится на 
если 
делится на 
Это выполнено при 
при любом натуральном m. Таким образом, для четного N мы построили бесконечно много хороших блоков.
Покажем теперь, что для 
существует лишь конечное число хороших блоков из N чисел. Пусть блок 
оказался хорошим. Мы убедимся, что при достаточно больших k это невозможно. Сумма всех чисел этого блока равна 
Предположим, что произведение чисел 
и 
(|r|,
и 
делится на сумму оставшихся чисел блока. Тогда число
является натуральным. Значит, число
тоже натуральное. Разберем несколько случаев.
1) Если 
(при этом 
так как 
то уже при 
число 
нецелое.
2) Пусть 
При наших ограничениях на 
это возможно, лишь при 
тогда 
и
По модулю 
числитель дроби равен 
При больших k это ненулевой остаток по модулю 
и, значит, число B нецелое.
3) Пусть 
Тогда аналогично 
и
По модулю 
числитель дроби равен
При больших k это ненулевой остаток по модулю и, значит, число B опять нецелое.
4) Пусть 
В следующих рассуждениях мы воспользуемся тем, что при больших k знаменатель дроби, задающей число B, очень близок к 1. Заметим, что при 
Взяв 
получаем
Следовательно, для некоторого 
Подставим это равенство в выражение для B:
Рассмотрим слагаемые, начиная с пятого. Вое их числители ограничены по модулю, например, числом 
а знаменатели не меньше чем k. Поэтому при 
их сумма меньше 
Это означает, что число
отличается от целого числа B менее чем на Но это невозможно, поскольку оно нецелое со знаменателем, не превосходящим 
и, значит, отличается от целого числа не менее чем на 
Докажите, что при и больших k лишь произведение чисел и 
или произведение чисел 
и может делиться на сумму оставшихся.
Ответ: для всех четных 