сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те ко­ли­че­ство пар целых чисел (x; y), удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию 5x в квад­ра­те минус 6xy плюс y в квад­ра­те =6 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­кла­ды­вая левую и пра­вую части урав­не­ния на мно­жи­те­ли, по­лу­ча­ем  левая круг­лая скоб­ка 5 x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­сколь­ку каж­дый из мно­жи­те­лей в левой части яв­ля­ет­ся целым чис­лом, от­сю­да сле­ду­ет, что

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 5 x минус y = 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка l пра­вая круг­лая скоб­ка , x минус y = 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 0 0 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 0 0 минус l пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы .

или
 си­сте­ма вы­ра­же­ний 5 x минус y= минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка l пра­вая круг­лая скоб­ка ,x минус y= минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 минус l пра­вая круг­лая скоб­ка . конец си­сте­мы .

где k и l  — целые числа из от­рез­ка [0; 100]. Найдём ко­ли­че­ство ре­ше­ний пер­вой си­сте­мы. Вы­ра­жая из неё x и y, по­лу­ча­ем

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка l пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 98 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 минус l пра­вая круг­лая скоб­ка , y=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка l пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 98 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 100 минус l пра­вая круг­лая скоб­ка . конец си­сте­мы .

Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние. По­ка­за­те­ли в сте­пе­нях трой­ки не­от­ри­ца­тель­ны. Сумма по­ка­за­те­лей в сте­пе­нях двой­ки равна 96, по­это­му хотя бы один из них по­ло­жи­те­лен, т. е со­от­вет­ству­ю­щий ему член яв­ля­ет­ся целым чис­лом. Так как в левой части ра­вен­ства также целое число, то и вто­рой член в пра­вой части ра­вен­ства дол­жен быть целым. Зна­чит, для су­ще­ство­ва­ния це­ло­чис­лен­ных ре­ше­ний не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы 2 мень­ше или равно k мень­ше или равно 98, 0 мень­ше или равно l мень­ше или равно 100  — всего 97 умно­жить на 101=9797 ва­ри­ан­тов. Вто­рая си­сте­ма также имеет 9797 ре­ше­ний; итак, всего 19 594 ре­ше­ний.

 

Ответ: 19 594.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Левая часть урав­не­ния на мно­жи­те­ли — 1 балла.

Со­став­ле­на си­сте­ма ли­ней­ных урав­не­ний от­но­си­тель­но x и у — 2 балла.


Аналоги к заданию № 1507: 1563 Все