сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Три рав­ных шара ра­ди­у­сом 1 лежат на одной плос­ко­сти и по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга. Конус с углом 60° в вер­ши­не осе­во­го се­че­ния стоит ос­но­ва­ни­ем на той же плос­ко­сти и ка­са­ет­ся бо­ко­вой по­верх­но­сти каж­до­го шара. Найти ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим через O1, O2, O3  — цен­тры дан­ных шаров, x  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са. Оче­вид­но, O1O2O3  — пра­виль­ный тре­уголь­ник со сто­ро­ной; рав­ной двум ра­ди­у­сам шара, то есть рав­ной 2. Вы­со­та ко­ну­са пе­ре­се­ка­ет плос­кость тре­уголь­ни­ка O1O2O3 в его цен­тре O, по­это­му OO1  — ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка O1O2O3, то есть

\left|O O_1|= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Рас­смот­рим два воз­мож­ных слу­чая:

1)  шары на­хо­дят­ся внут­ри ко­ну­са;

2)  шары на­хо­дят­ся вне ко­ну­са.

1)  Пусть шары рас­по­ло­же­ны внут­ри ко­ну­са. Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ABC ко­ну­са, про­хо­дя­щее через один из цен­тров дан­ных шаров, на­при­мер O1. Пусть BK  — вы­со­та ко­ну­са. Как было по­ка­за­но выше, точка O1 уда­ле­на от BK на рас­сто­я­ние

\left|O O_1|= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

По­сколь­ку шар с цен­тром O1 ка­са­ет­ся об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са в точке L и ос­но­ва­ния ко­ну­са в точке M (то есть O_1 L=O_1 M=1 пра­вая круг­лая скоб­ка , то точка O1 лежит на бис­сек­три­се угла ACB, от­ку­да

 \angle M C O_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle A C B= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­это­му

 |K C|=|K M| плюс |M C|=\left|O O_1| плюс \left|O_1 M| умно­жить на \ctg 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 1 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

2)  Пусть те­перь шары рас­по­ло­же­ны вне ко­ну­са. В этом слу­чае точка O1 будет при­над­ле­жать бис­сек­три­се угла BCM (ABC  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через O1), по­сколь­ку O1 рав­но­уда­ле­на от об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са BC и от про­дол­же­ния AM ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Итак:

x=|K C|=|K M| минус |C M|=\left|O O_1| минус \left|O_1 M| умно­жить на \ctg \angle O_1 C M=
= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус 1 умно­жить на \ctg 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ;  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .