сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 140
i

Пусть x  — дей­стви­тель­ное число. Обо­зна­чим сим­во­лом ||x|| рас­сто­я­ние на чис­ло­вой пря­мой от x до бли­жай­ше­го це­ло­го числа. (На­при­мер, ||3,7||=0,3. пра­вая круг­лая скоб­ка До­ка­жи­те, что най­дет­ся на­ту­раль­ное число k такое, что

1)k\leqslant999,

2)||k умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та || мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1000 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Разо­бьем от­ре­зок от 0 до 1 на 1000 оди­на­ко­вых по­до­т­рез­ков и от­ме­тим на нем точки x_1= левая фи­гур­ная скоб­ка 1 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ,x_2= левая фи­гур­ная скоб­ка 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ,...,x_999= левая фи­гур­ная скоб­ка 999 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . Здесь фи­гур­ные скоб­ки  левая фи­гур­ная скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка обо­зна­ча­ют дроб­ную часть числа. В силу того, что число  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ир­ра­ци­о­наль­но, ни одна точка xi не может сов­пасть с кон­цом по­до­т­рез­ка. Ясно также, что если хоть одна из этих точек по­па­ла на по­до­т­ре­зок, от­ме­чен­ный серым, то наше утвер­жде­ние до­ка­за­но. По­это­му пред­по­ло­жим, что ни одна точка на эти край­ние по­до­т­рез­ки не по­па­ла. Тогда по­лу­ча­ет­ся, что наши 999 точек долж­ны раз­ме­стить­ся на 998 остав­ших­ся по­до­т­рез­ках. Зна­чит, су­ще­ству­ет хотя бы один по­до­т­ре­зок, внутрь ко­то­ро­го по­па­дут по край­ней мере две точки xm и x_n, m боль­ше n. Тогда || левая круг­лая скоб­ка m минус n пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та || мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1000 конец дроби . Утвер­жде­ние до­ка­за­но.


Аналоги к заданию № 135: 140 Все

Источник/автор: Диана Лебедева