РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1344 Добавить в вариант

Найдите значение выражения

$синус в степени 4 дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс синус в степени 4 дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс синус в степени 4 дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс синус в степени 4 дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 24 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

С помощью формул приведения $левая круглая скобка синус левая круглая скобка Пи минус альфа правая круглая скобка = синус альфа правая круглая скобка$ данное выражение можно переписать в виде

$синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби .$

Далее заметим, что

$косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма плюс синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма = левая круглая скобка косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма плюс 2 синус в квадрате гамма косинус в квадрате гамма плюс синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате гамма косинус в квадрате гамма =$
$= левая круглая скобка косинус в квадрате гамма плюс синус в квадрате гамма правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 синус гамма косинус гамма правая круглая скобка в квадрате =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус в квадрате 2 гамма =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус 4 гамма правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби косинус 4 гамма .$ $косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма плюс синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма = левая круглая скобка косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма плюс 2 синус в квадрате гамма косинус в квадрате гамма плюс синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате гамма косинус в квадрате гамма =$
$= левая круглая скобка косинус в квадрате гамма плюс синус в квадрате гамма правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 синус гамма косинус гамма правая круглая скобка в квадрате =$
$=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус в квадрате 2 гамма =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус 4 гамма правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби косинус 4 гамма .$ $косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма плюс синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма =$
$= левая круглая скобка косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма плюс 2 синус в квадрате гамма косинус в квадрате гамма плюс синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате гамма косинус в квадрате гамма =$
$= левая круглая скобка косинус в квадрате гамма плюс синус в квадрате гамма правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 синус гамма косинус гамма правая круглая скобка в квадрате =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус в квадрате 2 гамма =$
$=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус 4 гамма правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби косинус 4 гамма .$ $косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма плюс синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма =$
$= левая круглая скобка косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма плюс 2 синус в квадрате гамма косинус в квадрате гамма плюс синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка гамма правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате гамма косинус в квадрате гамма =$
$= левая круглая скобка косинус в квадрате гамма плюс синус в квадрате гамма правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 синус гамма косинус гамма правая круглая скобка в квадрате =$
$=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус в квадрате 2 гамма =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус 4 гамма правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби косинус 4 гамма .$

Тогда получаем

$дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби косинус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Использована формула $косинус в степени 4 a плюс синус в степени 4 a=1 минус 0,5 синус в квадрате a$  — 1 балл.

Применены неверные тригонометрические формулы — 0 баллов за все последующие действия.

Аналоги к заданию № 1338: 1344 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Преобразования числовых выражений, Методы алгебры. Преобразования выражений, Методы тригонометрии. Формулы приведения, периодичность

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь