На плоскости изображён квадрат 
клеток. Вершины клеток будем называть узлами. Требуется в этом квадрате уложить трубу («тёплый пол») так, чтобы вход был в левом нижнем углу, а выход – в соседнем узле, и при этом труба прошла бы ровно один раз через каждый узел. Трубу разрешается укладывать только по границам клеток. На рисунке изображён пример укладки трубы в квадрате 3×3. Докажите, что уложить трубу возможно при любом нечётном значении n и невозможно ни при каком чётном n.
Если n — нечётное, то, например, возможна укладка «змейкой» по аналогии с рисунком в условии задачи. Если n — чётное, то количество узлов равно 
— нечётное число. Раскрасим узлы в черный белый цвет так, чтобы соседние узлы имели разные цвета. Тогда маршрут начинается узлом оного цвета, а заканчивается узлом другого цвета. Но тогда такой маршрут имеет чётную длину (количество пройденных узлов). Следовательно, невозможно построить соответствующий маршрут.