РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1294 Добавить в вариант

Докажите, что для неотрицательных чисел a, b, c выполняется неравенство

$ab плюс bc плюс ca больше или равно a корень из: начало аргумента: bc конец аргумента плюс b корень из: начало аргумента: ac конец аргумента плюс c корень из: начало аргумента: ab конец аргумента .$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $a b=x в квадрате ,$ $b c=y в квадрате ,$ $a c=z в квадрате ,$ откуда для неотрицательных чисел a, b, c $корень из: начало аргумента: a b конец аргумента =x,$ $корень из: начало аргумента: b c конец аргумента =y,$ $корень из: начало аргумента: a c конец аргумента =z .$ Тогда для неотрицательных чисел x, y, z исходное неравенство перепишется в виде

$x в квадрате плюс y в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате больше или равно x z плюс x y плюс y z . \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Так как

$дробь: числитель: x в квадрате плюс y в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно xy,$ $\quad дробь: числитель: x в квадрате плюс z в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно xz,$ $\quad дробь: числитель: y в квадрате плюс z в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно yz,$

то складывая эти три неравенства, получим верное неравенство (*).

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь