сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Мно­же­ство M со­сто­ит из всех таких чисел t, для каж­до­го из ко­то­рых числа t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби и t в квад­ра­те минус 4 t  — целые. Най­ди­те сумму квад­ра­тов эле­мен­тов мно­же­ства M.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби =m, t в квад­ра­те минус 4 t=n, где m и n  — целые числа. Тогда t в квад­ра­те минус m t плюс 1=0, от­ку­да, вы­чи­тая вто­рое ра­вен­ство, по­лу­ча­ем  левая круг­лая скоб­ка m минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t=n плюс 1. Если m не равно q 4, то из этого ра­вен­ства сле­ду­ет, что t  — ра­ци­о­наль­ное число, т. е. t= дробь: чис­ли­тель: p, зна­ме­на­тель: q конец дроби , где p при­над­ле­жит Z , q при­над­ле­жит N . Ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: p, зна­ме­на­тель: q конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: q, зна­ме­на­тель: p конец дроби =m воз­мож­но толь­ко в слу­чае p= \pm q, т. е. t= \pm 1. Если же m  =  4, то n  =  −1, что воз­мож­но при t=2 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Ис­ко­мая сумма равна

1 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =16.

Ответ: 16.