РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 10255 Добавить в вариант

В равносторонний треугольник PQR вписана окружность. Высота PH пересекает эту окружность в точке A, отличной от H. Прямая AQ пересекает окружность в точке B, отличной от A. Найдите радиус окружности, если известно, что $A B= корень из: начало аргумента: 63 конец аргумента .$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим радиус окружности через x. Тогда сторона треугольника равна $2 x корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ AH  =  2x. По теореме Пифагора $A Q в квадрате =A H в квадрате плюс H Q в квадрате =7 x в квадрате .$ По теореме о касательной и секущей

$Q H в квадрате =Q B умножить на Q A,$ $3 x в квадрате =x корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента умножить на Q B,$ $Q B= дробь: числитель: 3 x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби ,$ $A B=A Q минус Q B= дробь: числитель: 4 x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби .$

Так как по условию $A B= корень из: начало аргумента: 63 конец аргумента ,$ то $x= дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: 5,25.

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2024 год

Классификатор: Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих, Методы геометрии. Теорема Пифагора, Геометрия: планиметрия. Окружности вписанные

Спрятать решение · Помощь