РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 10253 Добавить в вариант

В треугольнике ABC проведены высота AH и биссектриса AD; точка H лежит между точками B и D. Известно, что BH  =  1, HD  =  3, CD  =  12. Найдите $синус \angle H A D.$

Спрятать решение

Решение.

Так как биссектриса треугольника делит противоположную сторону пропорционально двум другим сторонам, $A D: C D=A B: A C.$ Поэтому если AB  =  x, то AC  =  3x. По теореме Пифагора $A H в квадрате =x в квадрате минус 1,$ $A H в квадрате =9 x в квадрате минус 225.$ Решая эту систему уравнений, получаем $x в квадрате =28,$ $A H в квадрате =27.$ Но тогда

$A D= корень из: начало аргумента: A H в квадрате плюс H D в квадрате конец аргумента =6,$

$синус \angle H A D= дробь: числитель: H D, знаменатель: A D конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: 0,5.

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2024 год

Классификатор: Методы геометрии. Свойства медиан, высот, биссектрис, ср. линий, Методы геометрии. Теорема Пифагора, Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный

Спрятать решение · Помощь