PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Докажите, что если все ненулевые коэффициенты некоторого многочлена равны 
то все его корни по модулю меньше двух.
в) Известно, что 
и 
Докажите, что 
Решение. а)Очевидно при 
левая часть положительна, а правая отрицательна, поэтому отрицательных корней быть не может. При положительных x поделим уравнение на 
Получим
В левой части сумма k выражений вида 
что при положительных a не меньше двух:
причем равенство достигается только при 
Поэтому сумма k таких выражений не меньше 
и равенство достигается только при 
Перепишите уравнение в виде 
Ответ:
б) Докажите, что если все ненулевые коэффициенты некоторого многочлена равны то все его корни по модулю меньше двух.
Запишем многочлен в виде 
(если старший коэффициент равен −1, домножим его на −1 от этого его корни не изменятся.
Пусть a его корень, 
Тогда 
но
Противоречие. Докажите, что если 
то 
в) В силу обобщенных формул Виета, из данных уравнений следует, что числа 
суть корни кубического многочлена 
Постройте обычным способом график кубической функции 
взгляните на полученный рисунок и ... решение закончено!
Известно, что и Докажите, что Рассмотрим кубический многочлен
Он имеет корни 
Обозначив 
получим, что уравнение 
имеет три корня. Выясним для начала, когда это возможно.
Пусть 
тогда
поэтому 
возрастает при 
убывает при 
и возрастает при 
При этом 
и 
поэтому уравнение 
имеет три корня тогда и только тогда, когда 
Далее, 
и 
поэтому прямая 
пересекает график функции 
на промежутке 
при 
а на промежутке 
при 
Отсюда и получаем, что 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |