сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те длину от­рез­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся мно­же­ством зна­че­ний функ­ции

 f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс a x плюс 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс b x плюс 1 конец дроби ,

где |b| мень­ше 2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим чис­ли­тель на зна­ме­на­тель:

 F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс a x плюс 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс b x плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс левая круг­лая скоб­ка a x минус b x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс b x плюс 1 конец дроби ;|b| мень­ше 2 .

Далее возь­мем про­из­вод­ную от этой функ­ции, и после со­кра­ще­ния по­доб­ных по­лу­чим:

 F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка b минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс b x плюс 1 конец дроби .

Так как при |b| мень­ше 2 вы­ра­же­ние x в квад­ра­те плюс b x плюс 1 при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, то его можно от­бро­сить. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем две кри­ти­че­ские точки: x= минус 1 и x=1. Знаки на про­ме­жут­ках за­ви­сят от знака вы­ра­же­ния b минус a.

а)  b минус a боль­ше 0:

 F левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 минус a, зна­ме­на­тель: 2 минус b конец дроби ;  F левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 плюс a, зна­ме­на­тель: 2 плюс b конец дроби ;  F левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус F левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 минус a, зна­ме­на­тель: 2 минус b конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 плюс a, зна­ме­на­тель: 2 плюс b конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 левая круг­лая скоб­ка b минус a пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 минус b в квад­ра­те конец дроби .

б)  b минус a мень­ше 0:

 F левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 минус a, зна­ме­на­тель: 2 минус b конец дроби ;  F левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 плюс a, зна­ме­на­тель: 2 плюс b конец дроби ;  F левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус F левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 плюс a, зна­ме­на­тель: 2 плюс b конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 минус a, зна­ме­на­тель: 2 минус b конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 левая круг­лая скоб­ка a минус b пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 минус b в квад­ра­те конец дроби .

 

Ответ: а)  при a боль­ше b длина от­рез­ка равна  дробь: чис­ли­тель: 4 левая круг­лая скоб­ка b минус a пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 минус b в квад­ра­те конец дроби ; б)  при a мень­ше b длина от­рез­ка равна  дробь: чис­ли­тель: 4 левая круг­лая скоб­ка a минус b пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 минус b в квад­ра­те конец дроби .