РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Пусть $p левая круглая скобка x правая круглая скобка =a_0 плюс a_1x плюс \ldots плюс a_nx в степени n .$

а)  Докажите, что если $p левая круглая скобка k правая круглая скобка принадлежит \Bbb Q$ при всех $k принадлежит \Bbb Z,$ то $a_i принадлежит \Bbb Q$ при всех $i=0, 1, \ldots, n.$

б)  Докажите, что из того, что $p левая круглая скобка k правая круглая скобка принадлежит \Bbb Z$ при всех $k принадлежит \Bbb Z,$ не следует, что $a_i принадлежит \Bbb Z$ при всех $i=0, 1, \ldots, n.$

в)  Пусть $q_i левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка x минус i плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: i! конец дроби ,$ $q_0 левая круглая скобка x правая круглая скобка =1.$ Докажите, что если $p левая круглая скобка k правая круглая скобка принадлежит \Bbb Z$ при всех $k принадлежит \Bbb Z,$ то $p левая круглая скобка x правая круглая скобка =\sum b_iq_i левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ где $b_i принадлежит \Bbb Z$ при всех $i=0, 1, \ldots, n.$

Решение. а)  В этой задаче, абсолютно очевидной с точки зрения «высшей» математики (рассмотрите интерполяционный многочлен Лагранжа), потребовались некоторые ухищрения для поиска ее решения, не требующего введения новых понятий. Запишем многочлен $p левая круглая скобка x правая круглая скобка =a_nx в степени n плюс a_n минус 1x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс a_0$ в виде

$p левая круглая скобка x правая круглая скобка =c_nx левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка x минус n плюс 1 правая круглая скобка плюс c_n минус 1x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка x минус n плюс 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс c_0.$

Очевидно, что достаточно доказать рациональность всех коэффициентов c_i, $i=0, 1, \ldots,n.$ Подставляя в выписанное разложение последовательно числа $0, 1, \ldots,n,$ получим систему равенств

$p левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =c_0,$ $p левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =c_1 плюс c_0,$ $p левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =2c_2 плюс 2c_1 плюс c_0, \ldots,$ $p левая круглая скобка k правая круглая скобка =k!c_k плюс \sum_i=0 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка альфа _kic_i, \ldots,$

в которой все коэффициенты $альфа _ki$ рациональны. Поскольку

$k!c_k=p левая круглая скобка k правая круглая скобка минус \sum_i=0 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка альфа _kic_i,$

то из условия рациональности значений $p левая круглая скобка k правая круглая скобка$ для $k=0, 1, \ldots, n$ следует рациональность коэффициентов c_k (ср. далее с решением пункта в)).

б)  Пример: $p левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка .$

в)  Заметим прежде всего, что многочлены $q_i левая круглая скобка x правая круглая скобка$ обладают следующими свойствами:

$q_i левая круглая скобка k правая круглая скобка =0приk=0, 1, \ldots, i минус 1, q_i левая круглая скобка i правая круглая скобка =1иq_i левая круглая скобка k правая круглая скобка принадлежит \Bbb Zпри всехk принадлежит \Bbb N.$

Последнее свойство достаточно проверить для $k больше или равно i.$ Оно очевидно, поскольку $q_i левая круглая скобка k правая круглая скобка =C_k в степени i .$

Далее, для того, чтобы доказать совпадение многочленов степени n, достаточно показать, что совпадают их значения в $n плюс 1$ точке. Поэтому достаточно доказать, что существуют такие $b_i принадлежит \Bbb Z,$ что $p левая круглая скобка k правая круглая скобка =\sum b_iq_i левая круглая скобка k правая круглая скобка$ при $k=0, 1, \ldots, n.$

Рассуждение поведем по индукции. База очевидна, поскольку $b_0=p левая круглая скобка 0 правая круглая скобка .$ Предположим, что числа $b_0, \ldots, b_k минус 1$ являются целыми. Подставив $x=k$ в равенство $p левая круглая скобка x правая круглая скобка =\sum b_iq_i левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и воспользовавшись отмеченными свойствами многочленов $q_i левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ получим, что

$p левая круглая скобка k правая круглая скобка =\sum_i=0 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка b_iq_i левая круглая скобка k правая круглая скобка плюс b_k,$

откуда и следует целочисленность коэффициента b_k.

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ